Автобусы:
Харьков - Белокуракино 07:30
Харьков - Лисичанск         09:45
Харьков - Лисичанск         12:40
Харьков - Луганск (ч/з Купянск, Сватово) 06:30
Харьков - Луганск (ч/з Купянск, Сватово) 10:20
Харьков - Луганск (ч/з Купянск, Сватово) 11:35
Харьков - Новопсков         15:15
Харьков - Сватово         13:00
Харьков - Северодонецк 07:00
Харьков - Северодонецк 14:45
Харьков - Северодонецк 16:00
Харьков - Старобельск  16:50

Поезда:
143 СПб. - Донецк             12:48 чётн.
125 Киев - Луганск            20:02 ежедн.
325/326 Харьков - Луганск                        22:53 ежедн.
Можно и с пересадкой по Купянску.

Автобусы на Сватово идут с центрального автовокзала, - кажись, возле станции Харьков-Левада
Маршруток по наполняемости нет, - если есть, то они нелегальные и отправляются явно не от вокзала. Во всяком случае, ничего подобного я не слышал. Можете задать этот вопрос на форуме сайта gortransport.kharkov.ua

***
Есть вариант поездки ж.д. транспортом в более-менее удобное для Вас время. Едем с пересадками. 11 числа из Харькова должен отправляться поезд Одесса - Уфа в 10:53. Им можно доехать до Купянска (приб. 13:22), а оттуда - дизелем до Сватово (отпр. 14:12, приб. в Сватово - 17:42). Но это дополнительный поезд - о нём лучше уточнять информацию на ж.д.-вокзале непосредственно.
Второй вариант - с двумя пересадками: отправляемся от станции Харьков-Левада в 8:44, прибываем в Граково в 10:31, перебегаем на эльку в направлении Купянска (отправление в 10:45, - электрички из Харькова и на Купянск должны быть согласованными; прибытие в Купянск в 12:10). А из Купянска - указанным выше дизелем.
О пересадках на второй дизель Купянск - Попасная ч/з Сватово я не пишу, поскольку он идёт, насколько я понял, в неудобное для Вас время.